توانایی حل معادلات سیستم اغلب می تواند مفید باشد نه تنها در مدرسه، بلکه در عمل. در عین حال، هر کاربر کامپیوتر نمی داند که اکسل راه حل های خاصی برای معادلات خطی دارد. بیایید نحوه استفاده از این ابزار پردازشگر جدولی را برای انجام این کار به روشهای مختلف پیدا کنیم.
راه حل ها
هر معادله تنها زمانی حل می شود که ریشه هایش پیدا شود. در اکسل چندین گزینه برای یافتن ریشه وجود دارد. بیایید به هر کدام از آنها نگاه کنیم.
روش 1: روش ماتریکس
شایع ترین روش برای حل معادلات خطی با استفاده از ابزار اکسل، استفاده از روش ماتریس است. این شامل ایجاد یک ماتریس از ضرایب عبارات و سپس ایجاد یک ماتریس معکوس است. بیایید سعی کنیم از این روش برای حل معادلات زیر استفاده کنیم:
14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21
- ما ماتریس را با اعداد که ضرایب معادله هستند، پر می کنیم. این اعداد باید به ترتیب به ترتیب مرتب شوند، با توجه به محل هر ریشه که با آن مطابقت دارند. اگر در برخی از بیان یکی از ریشه ها از دست رفته باشد، در این صورت ضریب برابر با صفر است. اگر ضریب در معادله نشان داده نشده است، اما ریشه مربوطه وجود دارد، در نظر گرفته شده است که ضریب برابر است 1. جدول نتیجه را به عنوان یک بردار بنویسید الف.
- به طور جداگانه ارزش ها را بعد از علامت برابر می نویسیم. آنها را با نام مشترک به عنوان بردار بنویسید ب.
- برای پیدا کردن ریشه های معادله، ابتدا باید ماتریس را پیدا کنیم که معکوس آن موجود است. خوشبختانه در اکسل یک اپراتور ویژه وجود دارد که برای حل این مشکل طراحی شده است. این نامیده می شود MOBR. این یک نحو نسبتا ساده است:
= MBR (آرایه)اظهار نظر "آرایه" - این در واقع، آدرس جدول منبع است.
بنابراین، بر روی ورق یک منطقه از سلول های خالی را انتخاب می کنیم که برابر با محدوده ماتریس اصلی برابر است. روی دکمه کلیک کنید "قرار دادن عملکرد"واقع در نزدیکی نوار فرمول.
- در حال اجرا کارشناسی ارشد. برو به دسته "ریاضی". در لیست ما به دنبال این نام هستیم "MOBR". پس از پیدا کردن آن، آن را انتخاب کنید و بر روی دکمه کلیک کنید. "خوب".
- پنجره argument function شروع می شود. MOBR. این تنها یک فیلد توسط تعدادی استدلال دارد - "آرایه". در اینجا شما باید آدرس جدول ما را مشخص کنید. برای این منظور، مکان نما را در این زمینه قرار دهید. سپس دکمه سمت چپ ماوس را نگه دارید و ناحیه ورق که در آن ماتریس واقع شده است را انتخاب کنید. همانطور که می بینید، داده ها در مختصات مکان به طور خودکار در پنجره وارد می شوند. پس از این کار تکمیل می شود، بیشترین آشکار بودن این است که روی یک دکمه کلیک کنید. "خوب"اما عجله نداشته باش. واقعیت این است که با کلیک بر روی این دکمه معادل استفاده از دستور است وارد شوید. اما هنگام کار با آرایه ها پس از اتمام ورودی فرمول، بر روی دکمه کلیک نمی کنید. وارد شویدو مجموعه ای از کلید های میانبر را تولید می کند Ctrl + Shift + Enter. این عمل را انجام دهید.
- بنابراین، بعد از این، برنامه محاسبات را انجام می دهد و در خروجی در منطقه پیش انتخاب شده ما معکوس از ماتریس را داریم.
- حالا ما باید ماتریس معکوس را با ماتریس ضرب کنیم. بکه شامل یک ستون از مقادیر واقع شده پس از نشانه است برابر است در عبارات برای ضرب جداول در اکسل نیز یک تابع جداگانه وجود دارد که نام آن است مومیایی. این بیانیه دارای نحو زیر است:
= MUMNOGUE (Array1؛ Array2)محدوده را انتخاب کنید، در مورد ما شامل چهار سلول است. سپس دوباره اجرا کنید جادوگر تابعبا کلیک روی نماد "قرار دادن عملکرد".
- در رده "ریاضی"در حال اجرا کارشناسی ارشدنام را انتخاب کن "مومنش" و بر روی دکمه کلیک کنید "خوب".
- پنجره argument function فعال شده است. مومیایی. در حوزه "Massive1" مختصات ماتریس معکوس را وارد کنید. برای انجام این کار، مانند زمان گذشته، مکان نما را در حوزه قرار دهید و دکمه سمت چپ ماوس را پایین نگه دارید، جدول مربوطه با مکان نما را انتخاب کنید. اقدام مشابهی برای ایجاد مختصات در این زمینه انجام شده است "Massiv2"، فقط این بار مقادیر ستون را انتخاب می کنیم. ب. بعد از انجام اقدامات فوق، دوباره عجله نمی کنیم تا دکمه را فشار دهیم "خوب" یا کلید وارد شوید، و کلید ترکیبی را تایپ کنید Ctrl + Shift + Enter.
- پس از این عمل، ریشه های معادله در سلول قبلا انتخاب شده ظاهر می شود: X1, X2, X3 و X4. آنها در مجموعه ای مرتب می شوند. بنابراین می توان گفت که ما این سیستم را حل کرده ایم. به منظور بررسی درستی راه حل، به جای ریشه های مربوطه، پاسخ های داده شده به سیستم بیان اصلی کافی است. اگر برابری حفظ شود، این بدان معنی است که سیستم ارائه معادلات به درستی حل شده است.
درس: اکسل معکوس ماتریکس
روش 2: انتخاب پارامترها
دومین روش شناخته شده برای حل معادلات سیستم در Excel، استفاده از روش انتخاب پارامتر است. ماهیت این روش جستجوی مخالف است. یعنی، بر اساس یک نتیجه شناخته شده، ما برای یک استدلال نامعلوم جستجو می کنیم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم استفاده کنیم.
3x ^ 2 + 4x-132 = 0
- قبول ارزش x برای مساوی 0. محاسبه مقدار مربوطه برای آن f (x)با استفاده از فرمول زیر:
= 3 * x ^ 2 + 4 * x-132به جای ارزش "X" جایگزین آدرس سلول که در آن شماره واقع شده است 0برای ما گرفته شده است x.
- به برگه بروید "داده ها". ما دکمه را فشار می دهیم "تجزیه و تحلیل" چه اگر. این دکمه روی روبان در جعبه ابزار گذاشته شده است. "کار با داده ها". یک لیست کشویی باز می شود. یک موقعیت را در آن انتخاب کنید "انتخاب پارامتر ...".
- پنجره انتخاب پارامتر شروع می شود. همانطور که می بینید، از سه زمینه تشکیل شده است. در حوزه "نصب در یک سلول" آدرس سلول که در آن فرمول قرار دارد را مشخص کنید f (x)کمی زودتر از ما محاسبه شده است. در حوزه "ارزش" شماره را وارد کنید "0". در حوزه "تغییر ارزش ها" آدرس سلول که در آن مقدار واقع شده مشخص شود xقبلا توسط ما برای 0. پس از انجام این اقدامات، روی دکمه کلیک کنید "خوب".
- پس از آن، اکسل یک محاسبه با استفاده از انتخاب پارامتر را انجام می دهد. این پنجره اطلاعات ظاهر را اعلام می کند. باید بر روی دکمه کلیک کنید "خوب".
- نتیجه محاسبه ریشه معادله در سلولی است که ما در این زمینه اختصاص داده ایم "تغییر ارزش ها". در مورد ما، همانطور که می بینیم x برابر خواهد بود 6.
این نتیجه همچنین می تواند با جایگزینی این مقدار در عبارت حل شده به جای ارزش بررسی شود x.
درس: انتخاب اکسل
روش 3: روش کرامر
اکنون سعی خواهیم کرد سیستم معادلات را با روش کرامر حل کنیم. به عنوان مثال، بگذارید سیستم مشابهی را که در آن استفاده شد، بیاندازیم روش 1:
14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21
- همانطور که در اولین روش ما ماتریس را ایجاد می کنیم الف از ضرایب معادلات و جدول ب از ارزش هایی که علامت را دنبال می کنند برابر است.
- علاوه بر این ما چهار جدول دیگر را انجام می دهیم. هر یک از آنها یک کپی از ماتریس است. الف، تنها این نسخه ها یک ستون به نوبه خود توسط یک جدول جایگزین شده است ب. در جدول اول اولین ستون است، در جدول دوم آن دوم است و غیره.
- حالا ما باید عوامل تعیین کننده برای همه جداول را محاسبه کنیم. سیستم معادلات فقط اگر همه تعیین کننده ها دارای مقدار دیگری از صفر باشند، راه حل خواهند داشت. برای محاسبه این مقدار در اکسل دوباره یک تابع جداگانه وجود دارد - ممتاز. نحو این بیانیه به شرح زیر است:
= MEPRED (آرایه)بنابراین، مانند عملکرد MOBRتنها استدلال ارجاع به جدول پردازش شده است.
بنابراین، سلول را انتخاب کنید که تعیین کننده ماتریس اول نمایش داده می شود. سپس بر روی دکمه آشنا از روش های قبلی کلیک کنید. "قرار دادن عملکرد".
- پنجره فعال کارشناسی ارشد. برو به دسته "ریاضی" و در میان لیست اپراتورها، نام را در آنجا انتخاب کنید MOPRED. پس از آن، روی دکمه کلیک کنید "خوب".
- پنجره argument function شروع می شود. ممتاز. همانطور که می بینید، تنها یک فیلد دارد - "آرایه". آدرس اولین ماتریس تبدیل شده را در این فیلد وارد کنید. برای انجام این کار، مکان نما را در قسمت تنظیم کنید، سپس محدوده ماتریس را انتخاب کنید. پس از آن، روی دکمه کلیک کنید "خوب". این تابع نتایج یک سلول را به جای یک آرایه نمایش می دهد، بنابراین برای به دست آوردن محاسبه، نیازی به استفاده از کلید ترکیبی نیست Ctrl + Shift + Enter.
- تابع نتیجه را محاسبه و آن را در یک سلول پیش انتخاب شده نمایش می دهد. همانطور که می بینیم، در مورد ما تعیین کننده است -740، یعنی برابر صفر است که برای ما مناسب است
- به طور مشابه، عوامل دیگری را برای سه جدول دیگر محاسبه می کنیم.
- در مرحله نهایی، تعیین کننده ماتریس اولیه محاسبه می شود. این الگوریتم همان الگوریتم است. همانطور که مشاهده می کنیم، تعیین کننده جدول اولیه نیز غیر صفر است، به این معنی که ماتریس در نظر گرفته نشده غیر تولید شده است، یعنی سیستم معادلات دارای راه حل است.
- حالا وقت آن ریشه های معادله است. ریشه معادله برابر با نسبت تعیین کننده ماتریس تبدیل شده مربوط به تعیین کننده جدول اولیه است. به این ترتیب، همه ی چهار عامل تعیین کننده ماتریس های تبدیل شده را به صورت زیر تقسیم می کنیم -148که تعیین کننده اصلی جدول است، ما چهار ریشه دریافت می کنیم. همانطور که می بینید، آنها با ارزش ها برابر است 5, 14, 8 و 15. بنابراین، آنها دقیقا همانند ریشه هایی هستند که ما با استفاده از ماتریس معکوس در آن را پیدا کردیم روش 1که صحت راه حل سیستم معادلات را تایید می کند.
روش 4: روش گاوس
سیستم معادلات نیز با استفاده از روش گاوس حل می شود. برای مثال، بیایید سیستم ساده معادلات را از سه ناشناخته برداریم:
14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17
- مجددا ضریبهای جدول را همواره ضبط می کنیم. الفو اعضای آزاد پس از علامت برابر است - به جدول ب. اما این بار ما دو جدول را با هم به ارمغان می آوریم، زیرا ما به این کار نیاز داریم تا بیشتر کار کنیم. یک شرایط مهم این است که در اولین سلول ماتریس الف ارزش صفر بود. در غیر این صورت، خطوط را دوباره مرتب کنید.
- ردیف اول دو ماتریس متصل را به خط زیر کپی کنید (برای وضوح، میتوانید یک ردیف را امتحان کنید). در سلول اول که در خط حتی پایین تر از قبل قرار دارد، فرمول زیر را وارد کنید:
= B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)اگر ماتریس ها را به صورت متفاوتی مرتب کنید، آدرس سلول های فرمول شما معنای دیگری خواهد داشت، اما شما قادر خواهید بود آنها را محاسبه کنید، آنها را با فرمول ها و تصاویری که در اینجا ارائه شده مقایسه کنید.
پس از وارد شدن فرمول، کل ردیف سلول ها را انتخاب کرده و ترکیب کلید را فشار دهید Ctrl + Shift + Enter. فرمول آرایه به ردیف اعمال خواهد شد و با مقادیر پر شده است. بنابراین، ما از خط دوم اول حذف شدیم و نسبت ضرایب اول دو عبار اول سیستم را ضرب کردیم.
- پس از آن، رشته حاصل را کپی کنید و آن را در خط زیر قرار دهید.
- دو خط اول بعد از خط گمشده را انتخاب کنید. ما دکمه را فشار می دهیم "کپی"که بر روی روبان در برگه واقع شده است "خانه".
- بعد از آخرین ورودی روی صفحه، خط را پر می کنیم. اولین سلول در خط بعدی را انتخاب کنید. با کلیک بر روی دکمه راست موس کلیک کنید. در منوی زمینه باز، مکان نما را به آیتم بکشید "چسباندن ویژه". در لیست اضافی در حال اجرا، موقعیت را انتخاب کنید "ارزش ها".
- در خط بعدی، فرمول آرایه را وارد کنید. از ردیف سوم گروه داده قبلی ردیف دوم را با نسبت ضریب دوم ردیف سوم و دوم ضرب می کند. در مورد ما فرمول زیر خواهد بود:
= B13: E13- $ B $ 12: $ E $ 12 * (C13 / $ C $ 12)پس از وارد شدن به فرمول، کل مجموعه را انتخاب کنید و از کلید میانبر استفاده کنید Ctrl + Shift + Enter.
- اکنون لازم است که معکوس را با توجه به روش گاوس اجرا کنیم. پرش سه خط از آخرین ورودی. در خط چهارم، فرمول آرایه را وارد کنید:
= B17: E17 / D17بنابراین، آخرین ردیف ما را به ضریب سوم آن تقسیم می کنیم. پس از تایپ فرمول، کل خط را انتخاب کنید و ترکیبی از کلید را فشار دهید Ctrl + Shift + Enter.
- ما خط را بالا میبریم و فرمول آرایه زیر را وارد میکنیم:
= (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16ما برای استفاده از فرمول آرایه، کلیدهای ترکیبی کلی را فشار می دهیم.
- ما یک خط دیگر را بالا می بریم. در آن فرمول آرایه فرم زیر را وارد کنید:
= (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15باز هم، تمام خط را انتخاب کنید و از میانبر استفاده کنید Ctrl + Shift + Enter.
- در حال حاضر ما به اعدادی که در آخرین ستون آخرین بلوک ردیف ها، که قبلا توسط ما محاسبه شده است، نگاه می کنیم. اینها اینها هستند (4, 7 و 5) ریشه های این سیستم معادلات خواهد بود. شما می توانید این را با جایگزینی آنها برای ارزش ها بررسی کنید. X1, X2 و X3 در عبارات
همانطور که می بینید، در Excel، سیستم معادلات را می توان به روش های مختلف حل کرد، که هر کدام دارای مزایا و معایب خاص خود هستند. اما تمام این روش ها را می توان به دو گروه بزرگ تقسیم کرد: ماتریس و با استفاده از ابزار انتخاب پارامتر. در برخی موارد، روش های ماتریس همیشه برای حل مشکل مناسب نیستند. به طور خاص، زمانی که تعیین کننده ماتریس صفر است. در موارد دیگر، کاربر می تواند تصمیم بگیرد که کدام گزینه برای او مناسب تر باشد.
